Das Hilberthotel

Dieses Gedankenexperiment veranschaulicht den Unendlichkeitsbegriff der Mathematik und dessen Konsequenzen. So kann man mit diesem zeigen, dass verschiedene unendliche Zahlenmengen gleichmächtig sind.

Das Experiment

Angenommen, Sie sind ein Hotelmanager in einem Hotel mit unendlichen vielen Zimmern und das Hotel ist voll. Die Zimmer sind jeweils mit \(1,2,3,\dots\) nummeriert. Es trifft allerdings ein neuer Gast ein. Was tun Sie nun? Das ist ganz einfach.
Bitten Sie den Gast in Zimmer 1, in Zimmer 2 umzuziehen, den Gast in Zimmer 2, in Zimmer 3 umzuziehen, den Gast in Zimmer 3, in Zimmer 4 umzuziehen, und so weiter. Wenn es nur endlich viele Zimmer gäbe, könnte der Gast im letzten Zimmer nirgendwo hin, aber da es unendlich viele gibt, wird jeder eine neue Bleibe finden. Allerdings müssen Sie die Gäste auffordern, gleichzeitig umzuziehen, denn wenn Sie sie bitten, nacheinander umzuziehen, könnte der Umzug unendlich lange dauern, da unendlich viele Gäste umziehen müssen.

Endlich viele neue Gäste

Mit diesem Trick kann man tatsächlich jede endliche Anzahl neuer Gäste unterbringen. Wenn \(n\) neue Gäste eintreffen, bitten Sie einfach jeden vorhandenen Gast, in das Zimmer zu ziehen, dessen Nummer \(n\) plus die Nummer seines bisherigen Zimmers ist. Wenn zum Beispiel \(8\) neue Gäste kommen, dann muss der Gast, der sich derzeit in Zimmer \(10\) befindet, in Zimmer \(10+8=18\) umziehen.

Unendliche viele neue Gäste

Aber es kommt noch besser. Nehmen wir an, es kommen unendlich viele neue Gäste an und bilden eine geordnete Schlange vor dem Hotel. In diesem Fall bitten Sie jeden vorhandenen Gast, in das Zimmer zu ziehen, dessen Nummer doppelt so groß ist wie die Nummer seines derzeitigen Zimmers. Ein Gast, der in Zimmer \(x\) wohnt, zieht also in Zimmer \(2x\). Nach diesem Manöver sind nur die geradzahligen Zimmer belegt: Zimmer \(2 = 2 \cdot 1\), \(4 = 2 \cdot 2\), \(6 = 2 \cdot 3\) usw. Die ungeraden Zimmer sind alle frei, so dass Sie Ihren ersten neuen Gast in Zimmer 1 unterbringen können, den zweiten neuen Gast in Zimmer 3, den dritten neuen Gast in Zimmer 5 usw. Alle sind glücklich.

Unendliche Schichtung von Gästen

Das ist noch nicht alles. Nehmen wir an, dass eine unendliche Anzahl von Reisebussen eintrifft, die jeweils eine unendliche Anzahl neuer Gäste befördern. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Busse mit den Nummern 1, 2, 3 usw. versehen sind und dass die Sitze in jedem Bus ebenfalls mit den Nummern 1, 2, 3 usw. versehen sind. Sie beginnen damit, dass Sie jeden bestehenden Gast bitten, in das Zimmer zu ziehen, dessen Nummer doppelt so hoch ist wie die Nummer seines derzeitigen Zimmers. Dadurch werden die ungeraden Zimmer wieder frei. Sagen Sie nun dem Fahrgast von Bus 1 mit Sitzplatz 1, er solle in Zimmer 3 ziehen, dem Fahrgast von Bus 1 mit Sitzplatz 2 in Zimmer \(3^2 = 9\), dem Fahrgast von Bus 1 mit Sitzplatz 3 in Zimmer \(3^3 = 27\), und so weiter. Mit anderen Worten: Der Fahrgast von Wagen 1 mit Sitzplatz $n$ geht in den Raum \(3^n\). Jede Potenz von $3$ ist ungerade, so dass alle diese Räume garantiert frei sind.